✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (1)

Méthode  

Pour lever une indétermination dans un quotient, lorsque le  numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend «  le plus vite  » vers l'infini au numérateur et le terme qui tend  «  le plus vite  »  vers l'infini au dénominateur.  On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.

Énoncé

Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{4x^2-3}{5-x}}$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{3{\text{e}}^x-7}{x^5-2}}$ .

Solution

Pour tout réel $x\ne 0,{\displaystyle \frac{4x^2-3}{5-x}={\displaystyle \frac{x^2(4-\frac{3}{x^2})}{x(\frac{5}{x}-1)}}}$ .
Pour tout réel $x\ne 0,{\displaystyle \frac{4x^2-3}{5-x}=x\times {\displaystyle \frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}}}$ .
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x=-\mathrm{\infty }$ ,  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}4-{\displaystyle \frac{3}{x^2}=4}$  et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{5}{x}-1=-1}$
Par produit et quotient, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x\times {\displaystyle \frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}})=+\mathrm{\infty }$ .

Pour tout réel $x\ne 0,{\displaystyle \frac{3{\text{e}}^x-7}{x^5-2}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^x}{x^5}\times {\displaystyle \frac{3-\frac{7}{{\text{e}}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}}}}$ .
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\text{e}}^x}{x^5}=+\mathrm{\infty }}$  par croissances comparées.
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3-{\displaystyle \frac{7}{{\text{e}}^x}})=3$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-{\displaystyle \frac{2}{x^5}})=1$ .
Par quotient et produit, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{{\text{e}}^x}{x^5}\times {\displaystyle \frac{3-\frac{7}{{\text{e}}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}}}\right)=+\mathrm{\infty }$ .